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7.4 Traglastfaktor in Wandhöhenmitte

Nach Eurocode wird der Knicksicherheitsnachweis vereinfachend immer als Vergleich der Bemessungswerte nach Theorie II. Ordnung am verformten System in halber Geschosshöhe geführt. Dies bedeutet, dass zusätzlich zu der planmäßigen Exzentrizität em = Mmd/Nmd infolge vertikaler und ehm infolge horizontaler Lasten eine unplanmäßige Ausmitte einit der Stabachse sowie die sich nach Theorie II. Ordnung ergebende Zusatzausmitte eII zu berücksichtigen ist. Da die Wandverformung mit der Schlankheit λv = hef/t anwächst, wird der die Tragfähigkeit vermindernde Einfluss größerer Schlankheiten über das Zusatzmoment ΔMu = Nu ∙ eII erfasst, während die ungewollte Ausmitte der planmäßigen Lastexzentrizität zugeschlagen wird. Gleiches gilt für die Lastausmitte infolge Kriechen des Baustoffs. Die ungewollte Ausmitte einit wird durch einen parabelförmigen Ansatz über die Geschosshöhe erfasst (s. Bild 7-5). Der Größtwert in halber Geschosshöhe ist mit einit = hef/450 festgelegt.

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Bild 7-5: Ersatzstab zur Berechnung der Verformung nach Theorie II. Ordnung

Für den Knicksicherheitsnachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit in Wandhöhenmitte wird die aufnehmbare Normalkraft ebenfalls nach Plastizitätstheorie bestimmt. Nach DIN EN 1996/NA gelten für den Nachweis folgende Voraussetzungen:

  • Lineare Spannungsverteilung und Ebenbleiben der Querschnitte
  • Keine Mitwirkung des Mauerwerks auf Zug in der Lagerfuge
  • Parabelförmiger Verlauf der ungewollten Wandausmitte mit dem Maximalwert von einit = hef/450 in Wandmitte
  • Berechnung der Wandverformungen mit einem Elastizitätsmodul von E0 = 700 ∙ fk
  • Berücksichtigung der Kriechverformungen bei großen Wandschlankheiten mit einer von der Grenzschlankheit abhängigen Kriechzahl φ
  • Berücksichtigung der Deckeneinspannungen sowie der Arte der Auflagerung (zwei-, drei- oder vierseitig) über eine Abminderung der Knicklänge

Der Nachweis der Knicksicherheit in Wandhöhenmitte erfolgt analog zum Nachweis der Tragfähigkeit am Wand-Decken-Knoten nach Gleichung (7.1), wobei die traglastmindernden Einflüsse über den Abminderungsbeiwert Φm berücksichtigt werden. Die von der Wandschlankheit abhängigen Zusatzbeanspruchungen infolge Theorie II. Ordnung werden damit – wie bereits dargestellt – nicht auf der Einwirkungsseite erfasst, sondern durch die Abminderung der aufnehmbaren Normalkraft berücksichtigt. Daher hängt der Traglastbeiwert Φm nicht nur von der Lastexzentrizität nach Theorie I. Ordnung, sondern auch von der Wandschlankheit ab.

Nach DIN EN 1996-1-1 Anhang G wird der Traglastfaktor Φm nach den Gleichungen (7.14) und (7.15) berechnet, wobei diesem Ansatz eine Exponentialfunktion zu Grunde liegt. Der Traglastfaktor Φm ist darüber hinaus in Abhängigkeit des Elastizitätsmoduls, der Schlankheit und der Ausmitte in einem Diagramm dargestellt, und kann so relativ einfach bestimmt werden.

Gleichung 7.14

Gleichung 7.15

mit
emk   Ausmitte der Last einschließlich Kriechen in halber Wandhöhe nach Gleichung (7.17)
t   Wanddicke
hef   Knicklänge der Wand nach Kap. 5.2
tef   effektive Wanddicke nach DIN EN 1996-1-1 Kap. 5.5.1.3
fk   Mauerwerksdruckfestigkeit
E   Elastizitätsmodul

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Bild 7-6: Φm in Abhängigkeit von der Schlankheit bei verschiedenen Ausmitten für E=1000∙fk nach DIN EN 1996-1-1

In Deutschland wurde dieser Teil der DIN EN 1996-1-1 jedoch gestrichen und im Nationalen Anhang durch eine eigene Gleichung zur Bestimmung des Traglastfaktors in Wandhöhenmitte ersetzt. Demnach errechnet sich Φm wie folgt:

Gleichung 7.16

mit
emk   Ausmitte der Last einschließlich Kriechen in halber Wandhöhe nach Gleichung (7.17)
t   Wanddicke
hef   Knicklänge der Wand nach Kap. 5.2

Im ersten Teil der Gleichung (7.16) wird die Exzentrizität der Beanspruchung nach Theorie I. Ordnung bei der Ermittlung des Traglastfaktors berücksichtigt. Der Erhöhungsfaktor in Höhe von 1,14 ist zur Kalibrierung der Bestimmungsgleichung an die Ergebnisse der strengen theoretischen Lösung aus Basis der Differentialgleichung erforderlich. Da der Term (1-2⋅emk/t) bereits die Berücksichtigung des Spannungsblockes bei der Bemessung druckbeanspruchter Wände darstellt, ist für geringe Exzentrizitäten emk sowie bei kleinem Schlankheitsgrad hef/t die Obergrenze des Spannungsblocks zu beachten. Der Einfluss einer schlankheitsabhängigen Traglastminderung nach Theorie II. Ordnung wird somit erst für Werte Φm < (1 – 2⋅emk/t) maßgebend.

Der zweite Anteil der Gleichung erfasst die Effekte der Traglastminderung infolge der Verformungsanteile nach Theorie II. Ordnung. Sie werden vereinfachend durch eine vom Schlankheitsgrad hef/t abhängige lineare Abminderung des Traglastfaktors berücksichtigt. Hierbei dient der Faktor 0,024 der Anpassung an das tatsächliche Tragverhalten schlanker Wände aus Mauerwerk.

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Bild 7-7: Qualitativer Momentenverlauf über die Wandhöhe bei vollaufliegender Decke

Die Ausmitte emk der Last in halber Wandhöhe setzt sich folgendermaßen zusammen:

Gleichung 7.17

mit
em   Ausmitte der Last in halber Wandhöhe nach Gleichung (7.18)
ek   Ausmitte aus Kriecheinflüssen nach Gleichung (7.19)
t   Wanddicke

Hierbei wird die Exzentrizität der einwirkenden Lasten in halber Geschosshöhe wie folgt berechnet:

Gleichung 7.18

mit
eLast   Ausmitte in halber Wandhöhe infolge Mmd / Nmd
Mmd   Bemessungswert des einwirkenden Biegemomentes in halber Geschosshöhe resultierend aus den Momenten am Kopf und Fuß der Wand, einschließlich der Biegemomente aus allen anderen ausmittig angreifenden Lasten (z.B. Auflagerkonsolen)
Nmd   Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft in halber Geschosshöhe einschließlich aller anderen ausmittigen Lasten
ehm   Ausmitte in halber Geschosshöhe infolge Mhmd / Nmd
Mhmd   Bemessungswert des einwirkenden Biegemomentes in halber Geschosshöhe resultierend aus horizontalen Lasten (z.B. Wind)
einit   ungewollte Ausmitte mit dem Vorzeichen, mit dem der absolute Wert für ei erhöht wird. Die Ausmitte von einit = hef / 450 darf als parabolisch über die Wandhöhe verteilt angenommen werden.
hef   Knicklänge der Wand nach Kap. 5.2

Bei teilaufliegenden Decken kann der Knicksicherheitsnachweis in Wandhöhenmitte ebenfalls mit den am Rahmensystem ermittelten Schnittgrößen mit der tatsächlichen Wanddicke t geführt. Zu beachten ist hier jedoch, dass sich die Ausmitte em in Wandhöhenmitte im Vergleich zum Wandkopf bzw. zum Wandfuß um das Maß (t - a) / 2 (aufgrund der größeren Wanddicke) vergrößert (s. Bild 7 3).

Bei Außenwänden entstehen auch infolge einer horizontal einwirkenden Belastung z.B. aus Wind oder Erddruck Biegemomente und Querkräfte in der Wand. Daher sind diese Einwirkungen bei Anwendung der allgemeinen Regeln zur Bemessung stets zu berücksichtigen und die entstehenden Biegemomente sind mit den Biegemomenten aus Eigen- und Verkehrslasten zu überlagern. In Wandmitte ergeben sich dadurch zusätzliche planmäßige Lastexzentrizitäten, die im Knicksicherheitsnachweis zu berücksichtigen sind.

Für die Überlagerung dürfen die aus Querlasten entstehenden Momente innerhalb gewisser Grenzen umgelagert werden. So ist es im Sinne der Plastizitätstheorie zulässig, an Wandkopf und/oder Wandfuß gelenkige Lagerung, teilweise Einspannung oder Volleinspannung anzunehmen. Dadurch besteht die Möglichkeit, durch gezielte Schnittgrößenumlagerung die Bemessungsmomente an Wandkopf, Wandfuß oder in Wandmitte zu beeinflussen. Die möglichen Momentenverteilungen infolge Windbelastung zeigt Bild 7-8.

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Bild 7-8: Mögliche Schnittgrößenumlagerungen bei Windbeanspruchung nach [15]

Für Wände mit Schlankheiten kleiner oder gleich der Grenzschlankheit λc darf die Ausmitte infolge Kriechens ek unberücksichtigt bleiben. Wird die Grenzschlankheit λc überschritten, so darf der Kriecheinfluss nicht mehr vernachlässigt werden. Die Ausmitte ek ist dann nach folgender Gleichung zu ermitteln:

Gleichung 7.19

mit
ϕ   Endkriechzahl
hef   Schlankheit der Wand nach Kapitel 5.2
t   Wanddicke
em   Ausmitte der einwirkenden Lasten in halber Geschosshöhe nach Gleichung (7.18)

Die Exzentrizität infolge Kriechen ist jedoch in den meisten Fällen nur relativ gering. Aus diesem Grund soll diese mit der nächsten Änderung der DIN EN 1996-1-1/NA aus der Norm gestrichen werden, sodass in Zukunft nur noch die Ausmitte em berechnet werden muss.